 Nauka i život
Matematika i fizika
Fraktali II dio - matematička osnova
U narednoj lekciji objasnit će se kako se u Kartezijskoj ravnini predstavljaju realni i komplexni brojevi, rekurzivnu formulu,
divergenciju i konvergenciju, te nastajanje fraktala kao posljedicu primjene rekurzivne formule na kompleksne brojeve. Ovo ćete naravno moći shvatiti
samo ako već posjedujete određeno matematičko predznanje.
Realni i komplexni brojevi
Realni brojevi se prikazuju u koordinatnom sustavu pomoću točaka (x,y).
Na sličan način kompleksne brojeve prikazujemo u kompleksnoj ravnini. Možda se iz škole sjećate ovoga:
a + jb
gdje je a - realan dio, b - imaginaran dio i gdje je j imaginarna jedinica
odnosno kvadratni korijen od -1.
Na primjer kompleksan broj 3-2j prikazat ćemo kao točku sa (3,-2)
Fraktali, komplexni brojevi i matematička osnova
Godine 1980 francuski naučnik Benoit Mandelbrot počeo se malo igrati sa crtanjem komplexnih
brojeva pomoću računala kako smo to već gore prikazali. Inače računalo može izvršiti veoma veliki broj računskih
operacija u djeliću sekunde. A evo i formule sa kojom se zabavljao.
Što ta formula znači?
Prije svega z je kompleksan broj (varijabla) z=a+jb , a c je običan broj (konstanta) npr. 3.
Znak <=> označava rekurzivnu formulu. To znači svaki puta kada dobijemo rezultat na outputu (izlazu),
vraćamo ga ponovo na input (ulaz) i tako beskonačno puta (beskonačan broj iteracija).
Npr. uzmimo da smo u formuli z<=>z2+1 počeli rekurziju sa brojem z=3 (input je 3).
Tada je:
1. iteracija: output=32+1=10 - output vraćamo na ulaz pa će u drugoj iteraciji biti ulaz z=10
2. iteracija: output=102+1=101
3. iteracija: output=1012+1=10202
...itd. do beskonačne iteracije
Uočite da ako početni ulazni broj z uzmemo da je veći od jedan tada će nam izlazi postajati sve veći
i veći odnosno kažemo da će izlaz divergirati. Npr. u gornjem primjeru smo uzeli broj 3 kao početni ulaz pa su izlazi bili
10, 101, 1202, ...itd. dakle postajali su sve veći i veći pa će u beskonačnoj iteraciji izlaz biti beskonačan.
Što ako npr. za ulazni početni broj u formuli z<=>z2 uzmemo
vrijednost manju od jedan npr. 1/2. Tada će izlazi u svakoj
narednoj iteraciji biti sve manji i manji pa će iznositi: 1/4, 1/16, 1/256, ...itd. U beskonačnoj iteraciji izlaz bit će nula,
pa kažemo da da izlaz konvergira ka nuli.
No što je to što je Mandelbrot tako zanimljivo činio. Jednostavno rekao je računalu da oboja male točkice
na ekranu računala (pixele) za svaki broj u kompleksnoj ravnini. U samo nekoliko iteracija slika bi bila slijedeća.
No pri jako mnogo iteracija i različitih početnih ulaza slika je bila sve složenija i zanimljivija.
Ukoliko je formula z<=>z2+1 konvergirala izlaze ka nuli rekao je računalu da te izlaze oboja
u crno, a ako je formula divergirala brojeve rekao je da izlaze oboji u plavo. I evo što je dobio!
Ovo se zove FRAKTAL !
Različite nijanse plave boje pokazuju kojom brzinom određeni izlazi divergiraju.
A najveća fora je u tome da ukoliko dio fraktala povećavate (zumirate) dobit ćete novu sliku fraktala sa
također divljim i kompleksnim strukturama. Ovo zumiranje može ići do beskonačnosti, a određeni uzorci se uvijek ponavljaju.
Na donjoj slici je prikazan zumirani dio gornje slike.
Naravno ne stvara samo funkcija z<=>z2+1 fraktale nego i mnogo drugih
funkcija kompleksnih brojeva (npr. z<=> z5+sin(z+k) - th(z)) što doprinosi raznolikosti, ljepoti i
kompleksnosti ove matematičke pojave.
KONTAKTAKTIRAJTE AUTORA OVOG ČLANKA
Pošaljite upit u vezi članka: Fraktali II dio - matematička osnova .
MCMDX , XII 2007.
|
