Nauka i život

Matematika i fizika

Fraktali III dio - fraktalna geometrija i dimenzije

Općenito o dimenzijama
Govoreći o dimenzijama u klasičnom smislu možemo reći da su u Euklidovom prostoru poznate tri dimenzije.

Točka nema niti jednu dimenziju jer nema dužinu, širinu niti visinu.
Linija ima samo jednu dimenziju jer ima samo dužinu.
Ravnina ima dvije dimenzije jer ima dužinu i širinu.
Prostor ima sve tri dimenzije jer ima i dužinu i visinu i širinu.

Dimenzija kod samosličnih geometrijskih objekata
Pokušajmo sada definirati dimenziju na malo drugačiji način promatrajući samoslične objekte. Poznato je iz matematike da su dva objekta slična ukoliko su im kutevi isti, a stranice proporcionalno umanjene ili uvećane. Samosličan objekt je onaj objekt koji unutar sebe sadrži dijelove koji su slični velikom izvornom dijelu.
Uzmimo npr. jedan linijski segment. Kako bi načinili samosličan objekt uduplajmo ga na način kao dolje na slici.

Međutim da bismo od jednog kvadrata načinili samosličan objekt potrebno je postaviti ne dva nego četiri takva ista kvadrata kao dolje na slici.

Za dobivanje samoslične kocke potrebno je pak 8 istih malih kocki kao na donjoj slici.

Sada već možemo uočiti da nam je za svaku dimenziju potrebno n=2^d istih manjih dijelova kako bi načinili samosličan geometrijski objekt, gdje je d-broj dimenzija.

objekt	dimenzija (d)	broj samosl. dijelova (n)
linija	1	2=2¹
kvadrat	2	4=2²
kocka	3	8=2³
općenito	d	n=2^d

Umjesto da multipliciramo mali geometrijski objekt samo 2 puta to možemo učiniti proizvoljan broj s puta pa će općenita formula biti n=s^d. Dakle n je potreban broj manjih dijelova za formiranje objekta, d je broj dimenzija, a s je faktor multiplikacije. Iz te jednadžbe proizlazi da će broj dimenzija d iznositi:

d=lg(n)/lg(s)

Fraktalna dimenzija i geometrija
Prema gornjoj formuli d=lg(n)/lg(s) logično je postaviti slijedeće pitanje. Zašto d odnosno dimenzija uvijek mora biti cijeli broj? Da li dimenzija može biti npr. neki broj između 2 i 3 odnosno da li postoji neka dimenzija kao razlomak (frakcija) te kako bi to tijelo moralo izgledati?
Odgovor ćemo pronaći na slijedeći način.
Razdijelimo trokut na manje slične trokute 1, 2 i 3 bez središnjeg trokuta kojeg ćemo izrezati iz ukupne površine.

Nakon toga razdijelimo svaki od ta tri trokuta na isti način izbacujući srednji crni trokut.

Ponovimo postupak ponovo

Ponovo...

I ponovimo slijedeću iteraciju...

Vjerojatno ste uočili da se na ovaj način dobiva jedna fraktalna struktura koja ako se ponovi beskonačan broj puta naziva Sierpinski-jev Trokut.

Pokušajmo izračunti koliku dimenziju bi imao naš prvi trokut sačinjen od tri manja, crvena trokuta. Uočite da za dobivanje većeg trokuta su potrebna tri manja slična trokuta pa je n=3. Međutim ako promatramo stranice uočit ćemo da su se multiplicirale samo dva puta pa je s=2.

d=lg(n)/lg(s)=lg(3)/lg(2)=1,585 , dakle dimenzija kod fraktala nije cijeli broj

Na ovom jednostavnom primjeru je pokazano kako fraktali nemaju cijelu nego razlomljenu, fraktalnu dimenziju.

Što su fraktali?
Fraktalna geometrija i teorija determinirnog kaosa daju nam sasvim jednu novu perspektivu pogleda na svijet. Znanost o kaosu koristi jednu sasvim novu geometriju nazvanu fraktalna geometrija, a tijela u toj fraktalnoj geometriji su fraktali. Dakle fraktali su geometrijska tijela koja posjeduju svojstvo samosličnosti i fraktalnu dimenziju. Samosličnost u gornjem primjeru (Sierpinski Trokut) je geometrijska samosličnost no fraktali u prirodi više pokazuju statistički vjerojatnu samosličnost. Uvećani dijelovi fraktala su statistički isti kao i veći dijelovi fraktala. Jedan takav primjer je i Koch krivulja.

Zanimljivo je da ukoliko se provede beskonačan broj iteracija kakve se vide na slikama a,b,c i d tada će razmak između dvije točke na toj krivulji biti beskonačan. Ako pak takvu krivulju zatvorimo u nekakav krug tada će se desiti jedan paradox. Naime površina unutar takvog fraktala bit će konačna iako će linija koja ju opasuje biti beskonačna dugačka.
U prirodi je jedan takav primjer i morska obala kojoj je gotovo nemoguće izmjeriti duljinu jer ovisi o skali kojom ćemo mjeriti. Npr. ako mjerimo na jako uvećanoj karti dobit ćemo mnogo veću dužinu nego na umanjenoj karti jer neće prikazivati manje detalje. S ovim su se problemom suočili Britanski naučenjaci pokušavajući izmjeriti koliko je dužina obale Britanskog otoka. Mučili se mučili i na kraju odustali jer su svaki puta dobili drugačiji rezultat.
Samosličnost i skaliranje objekta može se kvantitativno izraziti pomoću tzv. fraktalne dimenzije. Prisjetimo se da su Euklidove dimenzije 1, 2 i 3 koriste kako bi se izrazila linija, površina i prostor te da su to cijeli brojevi. Nasuprot tome fraktalna dimenzija se koristi kako bi se izrazila gustoća kojom objekt ispunjava prostor odnosno koliko se novih dijelova pojavljuje pri povećanju rezolucije. Fraktalna dimenzija nije cijeli broj te je u pravilu veća od Euklidove dimenzije. Npr. fraktalna dimenzija zapadne obale Engleske je 1,3 dok je Norveške obale cca 1,52 , dakle veće su od 1 po Euklidu. To također znači da Norveška ima razvodnjeniju obalu od Engleske.
Izraz po kome se mjeri dimenzija je:

d=lg(n)/lg(s) gdje je
d - fraktalna dimenzija
n - broj novih kopija objekta promatrano nakon uvećanja
s - faktor uvećanja

Na donjim slikama se prikazuje kako fraktalna dimenzija utiče na ispunjavanje prostora tj. na gustoću ispune.

Važno je još i reći što fraktalna dimenzije ne određuje. Fraktalna dimenzija ne određuje kakav će oblik tijelo imati. Iz gornjih primjera i Kochova krivulja i ovaj objekt na slici neposredno gore imaju istu dimenziju 1,26 iako su po obliku sasvim različiti.
Fraktalne pojave su svugdje u prirodi. Postoje kako u anorganskim strukturama kao što su oblaci, riječna korita, atomska struktura, morska obala, te u organskim tvarima i živim bićima. Posebnu primjenu ima kod modeliranja kretanja fluida.
Fraktalna analiza je praktičan empirijski alat kojeg dalje nećemo razmatrati jer je ovaj članak samo pokušaj da se čitatelj uvede u područje nove i nadolazeće znanosti.

Izvori:
Fractal.org
Amalgamated Research Inc.
Fractal Tutorial by Cynthia Lanius
The Math of Fractals
Exploring Fractals by Mary Ann Connors
Fractal Geometry
Fractal Mathematics
Fractal Chaos
Fractals in Nature and How to Measure Them
Fractal Galery

Softveri za generiranje fraktala
Ultra Fractal
Fractal Explorer - besplatan
Xaos - besplatan, GNU
Mystic Fractal Programs

KONTAKTAKTIRAJTE AUTORA OVOG ČLANKA
Pošaljite upit u vezi članka: Fraktali III dio - fraktalna geometrija i dimenzije .
Naslov Poruke:
Text Poruke:

Vaše ime i prezime:
Vaš email:

MCMDX , I 2008.

Zaštita Privatnosti | Uvjeti Korištenja | Kontakt